Cuando los estudiantes de matemáticas de bachillerato o primer curso de universidad hacen integrales, una de las que típicamente les resultan difíciles es la integral de sen(x)*cos(x).
Integración por partes
La integral de sen(x)*cos(x) es una de esas integrales que puedes resolver con el método de integración por partes. No es difícil comenzar a resolverla, pero el problema es que llega un momento en que te encuentras con la misma integral, y entonces a partir de ahí los estudiantes no saben seguir. Vamos a explicar aquí cómo hacer la integral de seno por coseno de x paso a paso.
Lo primero es plantear quién es u y quién es dv en la integración por partes. Bajo la integral que estamos intentando resolver, pongo la famosa forma de resolverla. Elegimos en este caso que u=sen(x) y dv=cos(x). Si esta es la elección, du (derivada de u respecto de x) tiene que ser cos(x)*dx y v (integral de dv) tiene que ser sen(x).
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Ahora sustituimos u, v, du y dv en la fórmula, y queda:
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Lo que decía antes: nos ha quedado otra vez una integral sen(x)*cos(x). ¿Qué hacemos? ¿Volvemos a hacer esa integral otra vez por partes? No, porque vamos a llegar a lo mismo, una y otra vez una integral sen(x)*cos(x).
Entonces, ¿qué hacemos? Pues la solución es más sencilla de lo que parece: vamos a agrupar las integrales a un lado de la igualdad y dejar al otro lado el seno cuadrado de x. Es decir, vamos a despejar seno cuadrado de x, pasamos también el 2 al otro lado dividiendo, y listo, ya lo tenemos. No olvides añadir el +C al final, porque estamos haciendo una integral indefinida y tiene infinitas soluciones.
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Vale Silvia, pero resulta que yo elegí que u no sea sen(x) sino que u=cos(x), y cuando la hago igual que tú me sale una solución distinta. Venga, ¿lo probamos?
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La solución es diferente, porque ya no tenemos un seno cuadrado, sino un coseno cuadrado, y además hay un signo menos. Entonces, ¿qué significa esto? ¿Cómo puede tener una integral dos soluciones distintas?
En realidad las dos soluciones no son diferentes.
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Como puedes ver en la imagen de arriba, si derivamos cualquiera de las dos soluciones, nos da la función primitiva, es decir, la que estábamos intentando integrar, sen(x)*cos(x)